Trong chương trình hình học giải tích, việc Tính Góc Giữa 2 đường Thẳng là một kiến thức nền tảng và cực kỳ quan trọng, không chỉ trong các bài toán học mà còn là cơ sở cho nhiều ứng dụng thực tế trong kỹ thuật, vật lý, và thiết kế. Việc nắm vững định nghĩa, cách xác định, và các công thức liên quan sẽ giúp người học dễ dàng tiếp cận các vấn đề phức tạp hơn. Bài viết này sẽ đi sâu vào mọi khía cạnh của chủ đề này, từ những khái niệm cơ bản nhất đến các công thức áp dụng và ví dụ minh họa cụ thể, giúp độc giả có cái nhìn toàn diện và tự tin khi giải quyết các bài toán liên quan đến góc giữa hai đường thẳng.
1. Góc Giữa Hai Đường Thẳng Là Gì? Định Nghĩa Cơ Bản
Góc giữa hai đường thẳng d và d’ là góc $alpha $ được tạo bởi chúng, thỏa mãn điều kiện $0^{circ} leq alpha leq 90^{circ}$. Đây là quy ước quan trọng để đảm bảo góc luôn có giá trị không âm và không vượt quá $90^{circ}$.
Trong trường hợp đặc biệt, nếu hai đường thẳng d và d’ song song hoặc trùng nhau, góc giữa chúng được xác định là $0^{circ}$.
Một cách trực quan và dễ hiểu hơn, góc giữa hai đường thẳng chính bằng góc giữa hai vector chỉ phương của chúng, hoặc góc giữa hai vector pháp tuyến của hai đường thẳng đó. Điều này tạo cơ sở để chúng ta áp dụng các công cụ của đại số vector vào việc tính toán.
2. Các Phương Pháp Xác Định Góc Giữa Hai Đường Thẳng
Để xác định góc giữa hai đường thẳng a và b trong không gian hoặc mặt phẳng, chúng ta có thể áp dụng một trong các phương pháp sau:
-
Phương pháp hình học: Chọn một điểm O bất kỳ thuộc một trong hai đường thẳng (ví dụ, đường thẳng a). Từ điểm O, vẽ một đường thẳng a’ song song với đường thẳng a (nếu O nằm trên b) hoặc một đường thẳng b’ song song với đường thẳng b (nếu O nằm trên a). Góc giữa hai đường thẳng a và b chính là góc giữa hai đường thẳng a’ và b’ (hoặc a và b’) tại điểm O. Phương pháp này giúp chuyển bài toán về việc tìm góc giữa hai đường thẳng đồng quy.
-
Phương pháp sử dụng vector chỉ phương: Nếu vector u là vector chỉ phương của đường thẳng a và vector v là vector chỉ phương của đường thẳng b, và góc giữa hai vector này là $(u, v) = alpha$, thì góc giữa hai đường thẳng a và b sẽ là $alpha$ (với $0^{circ} leq alpha leq 90^{circ}$). Việc này đòi hỏi chúng ta phải đảm bảo góc giữa hai đường thẳng luôn là góc nhọn hoặc vuông, do đó thường lấy giá trị tuyệt đối hoặc tính cosin. Hiểu rõ về vector chỉ phương và pháp tuyến là nền tảng để giải quyết các bài toán hình học giải tích. Khả năng phân tích và tính toán chính xác như vậy là điều cần thiết, tương tự như việc nghiên cứu để tìm quán ăn ngon thủ đức với những tiêu chí cụ thể.
3. Công Thức Tính Góc Giữa Hai Đường Thẳng Chi Tiết
Để tính góc giữa 2 đường thẳng một cách chính xác, chúng ta sẽ áp dụng các công thức dựa trên các đại lượng đặc trưng của đường thẳng như vector pháp tuyến, vector chỉ phương hoặc hệ số góc.
3.1. Công thức dựa trên Vector Pháp Tuyến
Gọi vector $n(x;y)$ và vector $n’(x’;y’)$ lần lượt là hai vector pháp tuyến của hai đường thẳng d và d’. Góc giữa hai đường thẳng $alpha$ lúc này được tính bằng công thức:
$cos alpha = frac{|n cdot n’|}{|n| cdot |n’|} = frac{|x cdot x’ + y cdot y’|}{sqrt{x^2 + y^2} cdot sqrt{x’^2 + y’^2}}$
Công thức này đảm bảo rằng giá trị cosin luôn dương, do đó góc $alpha$ sẽ nằm trong khoảng từ $0^{circ}$ đến $90^{circ}$, phù hợp với định nghĩa góc giữa hai đường thẳng. Việc áp dụng công thức này đòi hỏi sự cẩn trọng trong tính toán từng thành phần.
3.2. Công thức dựa trên Hệ Số Góc
Trong trường hợp hai đường thẳng d và d’ được biểu diễn dưới dạng phương trình $y = k_1x + b_1$ và $y = k_2x + b_2$, với $k_1$ và $k_2$ lần lượt là hệ số góc của hai đường thẳng. Góc giữa hai đường thẳng $alpha$ lúc này được tính bằng công thức:
$tan alpha = |frac{k_1 – k_2}{1 + k_1k_2}|$
Công thức này đặc biệt hữu ích khi các đường thẳng đã cho ở dạng phương trình với hệ số góc. Tuy nhiên, cần lưu ý trường hợp $1 + k_1k_2 = 0$, tức là $k_1k_2 = -1$, khi đó hai đường thẳng vuông góc và góc giữa chúng là $90^{circ}$, tan $alpha$ không xác định. Việc lựa chọn công thức phù hợp phụ thuộc vào dạng phương trình của đường thẳng. Từ những kiến thức toán học, ta có thể phát triển tư duy logic để tìm kiếm những giải pháp tối ưu cho nhiều vấn đề khác nhau, chẳng hạn như lựa chọn mẫu nail chân đơn giản nhưng vẫn đảm bảo sự tinh tế.
4. Ví Dụ Minh Họa Cách Tính Góc Giữa Hai Đường Thẳng
Để giúp độc giả hiểu rõ hơn cách áp dụng các công thức trên, dưới đây là một số ví dụ minh họa cụ thể về tính góc giữa 2 đường thẳng trong chương trình Toán 10.
4.1. Ví dụ 1: Tính góc với phương trình tổng quát
Đề bài: Tính góc giữa hai đường thẳng $(a):3x+y-2=0$ và $(b):2x-y+39=0$.
Hướng dẫn giải:
Đường thẳng $(a)$ có vector pháp tuyến là $n_a = (3; 1)$.
Đường thẳng $(b)$ có vector pháp tuyến là $n_b = (2; -1)$.
Áp dụng công thức tính cosin góc giữa hai đường thẳng:
$cos alpha = frac{|n_a cdot n_b|}{|n_a| cdot |n_b|} = frac{|3 cdot 2 + 1 cdot (-1)|}{sqrt{3^2 + 1^2} cdot sqrt{2^2 + (-1)^2}}$
$cos alpha = frac{|6 – 1|}{sqrt{9 + 1} cdot sqrt{4 + 1}} = frac{5}{sqrt{10} cdot sqrt{5}} = frac{5}{sqrt{50}} = frac{5}{5sqrt{2}} = frac{1}{sqrt{2}}$
Từ đó, $alpha = 45^{circ}$.
Lời giải ví dụ 1 về tính góc giữa hai đường thẳng tổng quát
4.2. Ví dụ 2: Tính cosin góc với phương trình tham số
Đề bài: Tính cosin góc giữa hai đường thẳng sau: $Delta_1 :10x+5y-1=0$ và $Delta_2: left{begin{matrix} x=2+t y=1-tend{matrix}right.$
Hướng dẫn giải:
Đường thẳng $Delta_1$ có vector pháp tuyến là $n_1 = (10; 5)$.
Đường thẳng $Delta_2$ có vector chỉ phương là $u_2 = (1; -1)$.
Từ vector chỉ phương $u_2$, ta có thể suy ra vector pháp tuyến của $Delta_2$ là $n_2 = (1; 1)$.
Áp dụng công thức tính cosin góc giữa hai đường thẳng:
$cos alpha = frac{|n_1 cdot n_2|}{|n_1| cdot |n_2|} = frac{|10 cdot 1 + 5 cdot 1|}{sqrt{10^2 + 5^2} cdot sqrt{1^2 + 1^2}}$
$cos alpha = frac{|10 + 5|}{sqrt{100 + 25} cdot sqrt{1 + 1}} = frac{15}{sqrt{125} cdot sqrt{2}} = frac{15}{5sqrt{5} cdot sqrt{2}} = frac{3}{sqrt{10}}$
Vậy cosin của góc giữa hai đường thẳng là $frac{3}{sqrt{10}}$.
4.3. Ví dụ 3: Tính góc với phương trình đoạn chắn và tham số
Đề bài: Tính góc giữa hai đường thẳng $(a):frac{x}{2}+frac{y}{4}=1$ và $(b);frac{x-1}{2}=frac{y+1}{4}$.
Hướng dẫn giải:
Chuyển phương trình đường thẳng $(a)$ về dạng tổng quát: $frac{x}{2}+frac{y}{4}=1 Leftrightarrow 2x+y-4=0$.
Vector pháp tuyến của $(a)$ là $n_a = (2; 1)$.
Chuyển phương trình đường thẳng $(b)$ về dạng tổng quát: $frac{x-1}{2}=frac{y+1}{4} Leftrightarrow 4(x-1)=2(y+1) Leftrightarrow 4x-4=2y+2 Leftrightarrow 4x-2y-6=0 Leftrightarrow 2x-y-3=0$.
Vector pháp tuyến của $(b)$ là $n_b = (2; -1)$.
Áp dụng công thức tính cosin góc giữa hai đường thẳng:
$cos alpha = frac{|n_a cdot n_b|}{|n_a| cdot |n_b|} = frac{|2 cdot 2 + 1 cdot (-1)|}{sqrt{2^2 + 1^2} cdot sqrt{2^2 + (-1)^2}}$
$cos alpha = frac{|4 – 1|}{sqrt{4 + 1} cdot sqrt{4 + 1}} = frac{3}{sqrt{5} cdot sqrt{5}} = frac{3}{5}$
Từ đó, $alpha = arccos(frac{3}{5})$.
Sự chính xác trong các bước chuyển đổi phương trình và áp dụng công thức là chìa khóa để đạt được kết quả đúng. Trong cuộc sống, việc tỉ mỉ với từng chi tiết, như cách làm thiệp 20/10 bằng giấy a4 để có một món quà ý nghĩa, cũng đòi hỏi sự cẩn trọng tương tự.
Lời giải ví dụ 3 về tính góc giữa hai đường thẳng từ phương trình đoạn chắn
5. Bài Tập Vận Dụng Tính Góc Giữa Hai Đường Thẳng (Toán 10)
Để củng cố kiến thức và rèn luyện kỹ năng tính góc giữa 2 đường thẳng, độc giả có thể thực hành với 20 câu hỏi trắc nghiệm sau đây. Hãy tự mình giải quyết từng bài tập trước khi so sánh với đáp án gợi ý ở cuối phần này. Quá trình tự giải sẽ giúp bạn nhận diện những điểm còn yếu và cải thiện khả năng tư duy.
Bài 1: Xét hai đường thẳng $(a):x+y-10=0$ và đường thẳng $(b):2x+my+99=0$. Tìm giá trị m để góc giữa hai đường thẳng a và b bằng 45 độ.
A. m=-1
B. m=0
C. m=1
D. m=2
Bài 2: Cho 2 đường thẳng $(a):y=2x+3$ và $(b):y=-x+6$. Tính giá trị tan của góc giữa hai đường thẳng a và b.
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
Bài 3: Cho 2 đường thẳng có phương trình sau:
$(d_1)y=-3x+8$
$(d_2):x+y-10=0$
Tính giá trị tan của góc giữa hai đường thẳng $d_1$ và đường thẳng $d_2$?
A.$frac{1}{2}$
B.1
C.3
D.$frac{1}{3}$
Bài 4: Cho 2 đường thẳng sau:
$(a)left{begin{matrix} x=-1+mt y=9+tend{matrix}right.$
$(b): x+my-4=0$
Có bao nhiêu giá trị m thỏa mãn góc giữa hai đường thẳng (a) và (b) bằng $60^{circ}$?
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
Bài 5: Tìm giá trị côsin của góc giữa hai đường thẳng: $d_1:x+2y-7=0$ và đường thẳng $(d_2):2x-4y+9=0$
A. $-frac{3}{5}$
B. $frac{2}{sqrt{5}}$
C. $frac{1}{5}$
D. $frac{3}{sqrt{5}}$
Bài 6: Tính giá trị góc giữa 2 đường thẳng sau:
$d:6x-5y+15=0$
$Delta_2:left{begin{matrix} x=10-6t y=1+5tend{matrix}right.$
A. 90 độ
B. 30 độ
C. 45 độ
D. 60 độ
Bài 7: Tính giá trị côsin của góc giữa hai đường thẳng sau:
$d_1:left{begin{matrix} x=-10+3t y=2+4tend{matrix}right.$
$d_2:left{begin{matrix} x=2+t y=2+tend{matrix}right.$
A. $frac{1}{sqrt{2}}$
B. $frac{1}{sqrt{10}}$
C. $frac{1}{sqrt{5}}$
D. Tất cả đều sai
Bài 8: Góc giữa hai đường thẳng sau gần với số đo nào nhất:
$(a): frac{x}{-3}+frac{y}{4}=1$
$(b):frac{x+11}{6}=frac{y+11}{-12} $
A. 63 độ
B. 25 độ
C. 60 độ
D. 90 độ
Bài 9: Cho hai đường thẳng $(a): x – y – 210 = 0$ và $(b): x + my + 47 = 0$. Tính giá trị m thỏa mãn góc giữa hai đường thẳng a và b bằng 45 độ.
A. m= -1
B. m=0
C. m=1
D. m=2
Bài 10: Cho đường thẳng $(a): y = -x + 30$ và đường thẳng $(b): y = 3x + 600$. Tính giá trị tan của góc tạo bởi hai đường thẳng trên?
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
Việc luyện tập thường xuyên không chỉ giúp bạn ghi nhớ công thức mà còn rèn luyện tư duy giải quyết vấn đề. Đôi khi, sau những giờ học căng thẳng, một bộ phim thư giãn như phim cửa hàng tiện lợi cũng là cách hiệu quả để tái tạo năng lượng.
Bài 11: Cho hai đường thẳng $(d_1): y = -2x + 80$ và $(d_2): x + y – 10 = 0$. Tính tan của góc giữa hai đường thẳng $d_1$ và $d_2$?
A. $frac{1}{2}$
B.1
C.3
D.$frac{1}{3}$
Bài 12: Cho 2 đường thẳng:
Có bao nhiêu giá trị m thỏa mãn góc giữa hai đường thẳng a và b bằng 45 độ?
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
Bài 13: Tìm côsin của góc giữa 2 đường thẳng: $d_1: x + 2y – 7 = 0$ và $d_2: 2x – 4y + 9 = 0$.
Bài 14: Biết rằng có đúng 2 giá trị tham số k để đường thẳng $d:y=kx$ tạo với đường thẳng $delta :y=x$ một góc bằng 60 độ. Tổng giá trị của k bằng:
A. -8
B. -4
C. -1
D. -1
Bài 15: Đường thẳng $delta $ tạo với đường thẳng d:x+2x-6=0 một góc 45 độ. Tính hệ số góc k của đường thẳng $delta $.
A. k=$frac{1}{3}$ hoặc k=-3
B. k=$frac{1}{3}$ và k=3
C. k=$-frac{1}{3}$ hoặc k=-3
D. k=$-frac{1}{3}$ hoặc k=3
Bài 16: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, có bao nhiêu đường thẳng đi qua điểm A(2;0) và tạo với trục hoành một góc bằng 45 độ?
A. Có duy nhất
B. 2
C. Vô số
D. Không tồn tại
Bài 17: Tính góc tạo bởi 2 đường thẳng: $d_1:2x-y-10=0$ và đường thẳng $d_2:x-3y+9=0$
A. 30 độ
B. 45 độ
C. 60 độ
D. 135 độ
Bài 18: Tính góc giữa hai đường thẳng: $d_1:x+sqrt{3}y=0$ và $d_2:x+10=0$
A. 30 độ
B. 45 độ
C. 60 độ
D. 90 độ
Bài 19: Tính góc giữa hai đường thẳng:
A. 30 độ
B. 45 độ
C. 60 độ
D. 90 độ
Bài 20: Cho 2 đường thẳng sau:
$d_1: 3x+4y+12=0$
$d_2:left{begin{matrix} x=2+at y=1-2tend{matrix}right.$
Tìm các giá trị của tham số a để $d_1$ và $d_2$ hợp nhau với một góc bằng 45 độ.
A. a=2/7 hoặc a=-14
B. a=7/2 hoặc A,B
C. a=5 hoặc a=14
D. a=2/7 hoặc a=5
Đáp án gợi ý:
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| B | C | A | D | A | A | D | A | B | B |
| 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 |
| D | B | A | B | A | B | B | C | D | A |
Việc rèn luyện kỹ năng giải toán cũng tương tự như việc rèn luyện cách nhìn nhận sự vật. Đôi khi, một góc nhìn mới có thể tạo ra hiệu ứng bất ngờ, giống như việc áp dụng các nguyên tắc hình học để tìm cách tạo dáng chụp ảnh 2 người bạn thân đẹp mắt và ấn tượng.
Kết luận
Bài viết đã cung cấp một cái nhìn tổng quan và chuyên sâu về cách tính góc giữa 2 đường thẳng, bao gồm định nghĩa cơ bản, các phương pháp xác định, và những công thức áp dụng trong hình học giải tích. Từ việc hiểu rõ bản chất của góc giữa hai đường thẳng đến việc vận dụng linh hoạt các công thức dựa trên vector pháp tuyến hoặc hệ số góc, mọi thông tin đều được trình bày một cách rõ ràng, dễ hiểu. Các ví dụ minh họa và bài tập vận dụng có đáp án đi kèm hy vọng sẽ giúp độc giả, đặc biệt là các em học sinh, củng cố kiến thức và tự tin hơn trong việc giải quyết các bài toán liên quan. Nắm vững chủ đề này không chỉ là một yêu cầu trong học tập mà còn là nền tảng quan trọng cho tư duy logic và giải quyết vấn đề trong nhiều lĩnh vực khác của cuộc sống.
Tài liệu tham khảo
- Vuihoc.vn